斜梯形等邊。 什麼是梯形的中間線。 梯形的類型。 飛人 - 它..

梯形是四邊形的特殊情況，其中一對邊是平行的。 術語“梯形”來自希臘詞τράπεζα，意思是“表”，“表”。 在這篇文章中，我們將討論梯形類型及其屬性。 此外，我們將了解如何計算這個 幾何圖形 的各個元素 。 例如，等邊梯形的對角線，中間線，面積等。材料以基本流行的幾何形狀描述，即以容易獲得的形式描述。

一般信息

首先，我們來看看四邊形是什麼。 該圖是包含四邊和四個頂點的多邊形的特殊情況。 不相鄰的四邊形的兩個頂點稱為相對頂點。 關於兩個不相鄰的側面也可以這樣說。 四邊形的主要類型是平行四邊形，矩形，菱形，正方形，梯形和剝皮。

所以，回到梯形。 正如我們已經說過的，這個數字有兩面是平行的。 他們被稱為基地。 另外兩個（非平行）是側面。 在考試和各種考試的材料中，經常有可能滿足與梯形相關的任務，其解決方案往往要求學生掌握程序不提供的知識。 幾何學校課程介紹學生的角度和對角線的屬性，以及等腰梯形的中間線。 但畢竟，除此之外，上述幾何圖還有其他特點。 但後來他們呢

梯形類型

這個數字有很多種。 然而，其中兩個通常被認為是等腰和矩形。

矩形梯形是其中一個側面垂直於基座的圖形。 它有兩個角度總是等於九十度。

等腰梯形是一個幾何圖形，它們的邊彼此相等。 這意味著底座的角度也成對相等。

研究梯形特性的技術的主要原理

主要原則是使用所謂的問題方法。 事實上，沒有必要在理論幾何課程中引入這個數字的新屬性。 可以在解決各種問題（更好的系統）的過程中開放和製定。 同時，教師知道在教育過程的一個或另一個時刻，在學童面前要做什麼任務是非常重要的。 此外，每個梯形屬性可以表示為任務系統中的關鍵任務。

第二個原則是所謂的螺旋組織研究“卓越”的梯形特性。 這意味著學習過程中給定幾何圖形的各個特徵的返回。 因此，學生更容易記住。 例如，四點的財產。 在相似性的研究中，後來在向量的幫助下可以證明這一點。 並且通過不僅應用相同的高度繪製在一條線上的側面的三角形的屬性，而且還使用公式S = 1/2（ab *sinα），可以證明與圖的邊相鄰的三角形的相等性。 另外，可以在所描述的梯形上的內切梯形或直角三角形上 求出正弦定理 ，等等。

幾何圖形的“非綱領性”特徵在學校課程內容中的應用是一種審慎的教學技術。 在通過其他課題時，不斷吸引研究的財產，使學生更好地了解梯形，並確保任務解決方案的成功。 所以，我們開始研究這個非凡的數字。

等腰梯形的元素和屬性

正如我們已經指出的那樣，在這個幾何圖中，兩邊是相等的。 她也被稱為正確的梯形。 為什麼這麼引人注目，為什麼會得到這樣的名字？ 這個數字的特點是，不僅基座的側面和角落相等，還有對角線。 此外，等腰梯形的角度之和為360度。 但這不是全部！ 在所有已知的梯形中，只有圍繞一個等腰可以形成一個圓。 這是由於這個圖中相反角度之和為180度，但是只有在這種條件下才可以描述四邊形周圍的圓。 所討論的幾何圖形的下一個屬性是從底部頂部到相對頂點到包含該基底的線的投影的距離將等於中線。

現在我們來弄清楚如何找到等腰梯形的角度。 讓我們考慮解決這個問題，只要數字的兩邊的尺寸是已知的。

解決方案

通常四邊形通常由字母A，B，C，D表示，其中BS和AD為基數。 在等腰梯形，兩邊平等。 我們將假設它們的大小等於X，並且基數的大小等於Y和Z（分別越來越小）。 為了進行計算，有必要從角度B繪製高度H.因此，我們有一個矩形三角ABN，其中AB是斜邊，BN和AN是腿。 我們計算AN的大小：從較大的基數我們減去較小的，並將結果除以2.我們以公式：（ZY）/ 2 = F的形式寫入。現在，為了計算三角形的銳角，我們使用函數cos。 我們得到以下符號：cos（β）= X / F. 現在計算角度：β= arcos（X / F）。 此外，知道一個角落，我們可以定義第二個，為此我們做出基本的算術運算：180 - β。 所有角度被定義。

這個問題還有第二個解決方案。 從一開始，我們從角度B降低高度H.我們計算BN值的值。 我們知道直角三角形的斜邊的平方等於腿的平方的總和。 我們得到：BN =√（X2-F2）。 接下來，我們使用三角函數tg。 結果我們有：β= arctg（BN / F）。 發現急性角度。 接下來，我們類似於第一種方法來定義鈍角。

等腰梯形的對角線的屬性

首先，我們寫下四條規則。 如果等腰梯形的對角線垂直，則：

- 數字的高度將等於基數除以2的總和;

- 其高度和中線相等;

- 梯形區域將等於高度的平方（中間線，基數之和的一半）;

- 對角線的平方等於基數之和或中線（高度）的雙倍平方的平方的一半。

現在我們考慮確定等邊梯形對角線的公式。 這個信息塊可以分為四個部分：

1.對角線長度的公式。

假設A是底部底部，B是頂部，C是相等的邊，D是對角線。 在這種情況下，長度可以如下確定：

D =√（C2 + A * B）。

通過餘弦定理對角線長度的公式。

假設A是底部底部，B是頂部，B是頂側，D是對角線，α（在底部底部）和β（在上部底部）是梯形角。 我們得到以下公式，通過這些公式可以計算出對角線的長度：

- Д=√（А2+С2-2А*С*cosα）;

- Д=√（А2+С2-2А*С*cosβ）;

- Д=√（В2+С2-2В*С*cosβ）;

- Д=√（В2+С2-2В*С*cosα）。

等腰梯形對角線長度公式。

假設A是底部底部，B是頂部，D是對角線，M是中線，H是高度，P是梯形面積，α和β是對角線之間的角度。 確定以下公式的長度：

- D =√（M2 + H2）;

- D =√（H2 +（A + B）2/4）;

- D =√（H（A + B）/sinα）=√（2P /sinα）=√（2M * H /sinα）。

對於這種情況，等式sinα=sinβ是有效的。

對角線長度公式通過側面和高度。

假設A是底部底部，B是頂部，C是側面，D是對角線，H是高度，α是與底部底部的角度。

確定以下公式的長度：

- D =√（H2 +（A-P *ctgα）2）;

- Д=√（Н2+（В+Р*ctgα）2）;

- Д=√（А2+С2-2А*√（С2-Н2））。

矩形梯形的元素和屬性

讓我們看看這個幾何圖形有趣的東西。 正如我們已經說過的，一個矩形梯形具有兩個直角。

除了古典的定義，還有其他的。 例如，矩形梯形是梯形，其中一側垂直於基部。 或者在一邊有直角的數字。 在這種梯形中，高度等於垂直於基部的側面。 中線是連接雙方中間的部分。 提到的元素的屬性是它與基座平行，並且等於它們的總和的一半。

現在我們來看一下定義這個幾何圖形的基本公式。 為此，我們假設A和B是基數; C（垂直於基座）和D - 矩形梯形，M - 中線，α - 銳角，P - 面積。

垂直於基座的側面等於圖形的高度（C = H），並且等於較大的基座（C = D *sinα）的第二面D的長度與角度α的正弦的乘積。 此外，它等於銳角α的切線與基底的差異的乘積：C =（A-B）*tgα。

側面D（不垂直於基座）等於圖H的銳角或部分高度的偏差A和余弦（α）和銳角的正弦：D =（A-B）/cosα= C /sinα。

垂直於底座的一側等於D的二次方的平方根與基座的差的平方的平方根：

C =√（A2-（A-B）2）。

矩形梯形的側面D等於側面C的平方和和幾何圖形之間的差的平方的平方根：D =√（C2 +（AB）2）。

側面C等於將雙面積除以基數之和的商：C =П/М=2П/（А+Б）。

該區域由乘積M（矩形梯形的中間線）垂直於基座的高度或側面確定：М=М*Н=М*С。

側面C等於將圖的加倍區域除以銳角的正弦與其基數之和的乘數：C =П/М*sinα=2π/（（А+Б）*sinα）。

矩形梯形的橫向側面通過其對角線和它們之間的角度的公式：

- sinα=sinβ;

- C =（A1 * A2 /（A + B））*sinα=（A1 * A2 /（A + B））*sinβ，

其中D1和D2是梯形的對角線; Α和β是它們之間的角度。

側面通過底部底部和另一側的角度的公式：D =（AB）/cosα= C /sinα= H /sinα。

由於具有直角的梯形是梯形的特定情況，因此定義這些圖形的其餘公式將對應於矩形。

標記圈屬性

如果條件說一個圓形刻在一個矩形梯形，那麼你可以使用以下屬性：

- 基數之和等於側面的總和;

- 從矩形圖的頂部到內切圓的切點的距離總是相等的;

- 梯形的高度等於垂直於底座的側面，等於 圓 的 直徑 ;

圓的中心是角度的 平分線 相交的點;

- 如果側面被相切點劃分成段H和M，則 圓 的 半徑 等於這些段的乘積的平方根;

- 由相切點形成的四邊形，梯形頂點和內切圓的中心是其側面等於半徑的正方形;

- 圖的面積等於基數和基數的半數在其高度上的乘積。

相似的梯形

這個主題對於研究這個 幾何圖形 的屬性非常方便 。 例如，對角線將梯形分成四個三角形，與基座相鄰，三角形相等。 這個語句可以稱為三角形的屬性，梯形被它的對角線分隔。 這個斷言的第一部分通過兩個角度的相似性標準來證明。 為了證明第二部分，最好使用下面給出的方法。

定理的證明

我們假設ABSD圖案（AD和BS - 梯形基座）被VD和AC的對角線斷開。 它們的交點為O.我們得到四個三角形：AOS - 在底部底部，BOS - 在上部底部，ABO和SOD在側面。 在區段BD和OD為其基礎的情況下，SOD和BFD的三角形具有相同的高度。 我們得到它們的區域的差異（Π）等於這些區段的差異：ΠС/ /СОД= = = / / /Д= =Следовательно。因此，LDPE = NSP / K. 類似地，三角形BF和AOB具有共同的高度。 我們以CO和OA部分為基礎。 我們得到PBO / PAOB = CO / OA = K和PAOB = PBO / K. 由此可見，PSCM = PAOB。

為了修復材料，鼓勵學生找到三角形的區域之間的連接，梯形被對角線分開，解決了以下問題。 已知BF和ADN區域的三角形相等，有必要找到梯形區域。 由於LDPE = PAOB，這意味著PABSD = PBO + PAOJD + 2 * PODC。 從BFU和AOD的三角形的相似性可以看出，BD / DD =（PBO / PAOD）。 因此，BSP / DPPM = BW / DD =√（PBO / PAOD）。 我們得到LDP =√（PBO * PAOD）。 那麼PABSD = PBO + PAOAD + 2 *√（PAO * PAOD）=（√POPS+√PAOOD）2。

相似性

繼續開發這個話題，可以證明其他有趣的梯形特徵。 因此，使用相似度，我們可以證明通過由該幾何圖形的對角線形成的點平行於基部的點的特性。 為此，我們解決了以下問題：需要找到通過點O的段PK的長度。從三角形ADD和BFD的相似性可以看出，AO / OC = AD / BS。 從三角形AOP和ASB的相似性可知，AO / AC = PO / BS = AD /（BS + AD）。 由此得到PO = BC * AD /（BS + AD）。 類似地，根據三角形DKK和DBS的相似性，OK = BS * AD /（BS + AD）。 由此可知PO = OK和PK = 2 * BS * AD /（BS + AD）。 穿過平行於基座並連接兩個側面的對角線交點的線段被交叉點分成兩半。 其長度是該圖的平均諧波基數。

考慮以下梯形質量，這被稱為四點的屬性。 對角線（O）的交點，側面（E）的延伸線和基座（T和M）的中間部分的交點總是位於一條線上。 這通過相似性方法很容易證明。 獲得的三角形BEC和AED是相似的，並且在它們的每一個中，ET和EF中心將E的頂點處的角度分成相等的部分。 因此，點E，T和M位於一條線上。 以完全相同的方式，點T，0和M位於一條直線上，所有這些都來自三角形BOS和AOD的相似性。 因此，我們得出結論，E，T，O和M的所有四個點都將位於一條直線上。

使用類似的梯形，您可以要求學生找到段（LF）的長度，將數字分成兩個類似的。 該段必須與基底平行。 由於獲得的ALFD和LBSF的梯形相似，所以BS / LF = LF / AD。 因此LF =√（BS * AD）。 我們得到將梯形分成兩個類似的段的長度等於圖的基數的平均幾何長度。

請看下面的相似特性。 它是基於將所述梯形成兩個相等大小的塊的段。 接受飛人ABSD段被分成兩個相似的EH。 從B的頂部降低該段的高度被分為兩部分EN - B1和B2。 獲得PABSD / 2 =（BS + EH）* V1 / 2 =（AP + EH）* B2 / 2 = PABSD（BP + BS）*（B1 + B2）/ 2。 進一步組成的系統，其中，所述第一方程（BS + EH）* B1 =（BP + EH）* B2和第二（BS + EH）* B1 =（BP + BS）*（B1 + B2）/ 2。 由此可見，B2 / B1 =（BS + EH）/（BP + EH）和BS + EH =（（BS + BP）/ 2）*（1 + B2 / B1）。 我們發現，將所述梯形上兩個相等，等於二次鹼基的平均長度的長度：√（（CN2 + AQ2）/ 2）。

相似的結論

因此，我們已經證明了：

1.連接在側面梯形的中間段，平行於BP和BS和BS是算術平均和BP（梯形的鹼基長度）。

2.通過對角線並行AD和BC的交叉點O酒吧將等於調和平均值號BP和BS（2 * BS * AD /（AD + BC））。

3.段以類似於梯形打破具有長度幾何平均鹼基BS和BP。

4.將所述形狀成兩個相等大小的元素，長度均方號碼BP和BS。

為了鞏固學生的段之間的聯繫的物質和意識是必要的，以建立他們的具體梯形。 他可以很容易地顯示的平均線和通過點的分段 - 附圖的對角線的交點 - 平行於地面。 但是，在將第三和第四？ 這種反應會導致學生對平均值之間的關係不明的發現。

段加入了梯形的對角線的中點

考慮人物的下列財產。 我們接受該段MN平行於基地和半斜分。 交叉點被稱作W和S.該段將是等於差原因的一半。 讓我們更詳細地研究這個。 MSH - 三角形ABS的平均線，它等於到BS / 2。 小能隙 - 的三角形DBA的中間線，它等於AD / 2。 然後我們發現，SHSCH =小能隙-MSH因此SHSCH = AD / 2-BS / 2 =（AD + BC）/ 2。

重心

讓我們來看看如何定義的元素對於給定的幾何圖形。 要做到這一點，你必須擴展在相反方向的基礎。 這是什麼意思？ 這是必要的基礎，添加到鞋幫底部 - 給任何一方，例如，在右邊。 較低的延長左上的長度。 接下來，他們的對角線。 這個段與該圖的中心線的交點的點是梯形的重心。

落款和描述飛人

讓我們列表等功能的數字：

1.線路可以在僅當它是等腰的圓內接。

2.圍繞圓可以被描述為一個梯形，其前提是它們的基部的長度之和是邊的長度的總和。

內切圓的後果：

1.梯形的高度始終描述等於兩倍的半徑。

2中描述的梯形的側從直角的圓的中心觀察。

第一個後果是顯而易見的，並證明二是需要建立SOD的角度是直接的，也就是，其實也並不容易。 但這種屬性的知識可以讓你用一個直角三角形來解決問題。

現在我們指定的等腰梯形，其在圓內切的後果。 我們得到的高度是幾何平均值數字基地：H = 2R =√（BS * BP）。 履行求解梯形問題（兩種高度的原則）的基本方法，學生必須解決以下任務。 接受BT - 等腰三角形的高度數字ABSD。 你需要找到AT和AP的延伸。 應用上面，它會做描述的公式是不困難的。

現在讓我們解釋如何確定從區域描述梯形的圓的半徑。 從底座BP上的頂部乙高度刪去。 由於圈中的梯形內切時，BS + 2AB = BP或AB =（BS + BP）/ 2。 從三角形ABN查找sinα= BN / 2 * AB = BN /（AD + BC）。 PABSD =（BS + BP）BN * / 2，BN = 2R。 獲得PABSD =（BP + BS）* R，由此得出R = PABSD /（AD + BC）。

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所有公式中線飛人

現在是時候去這個幾何圖形的最後一個項目。 我們就會明白，什麼是梯形（M）的中間線：

1.通過鹼：M =（A + B）/ 2。

2.高度，底部和拐角後：

•M-H = A *（ctgα+ctgβ）/ 2;

•M + H = D *（ctgα+ctgβ）/ 2。

3.通過的高度以及它們之間的對角線角度。 例如，D1和D2 - 對角線梯形的; α，β - 它們之間的角度：

M = D1 * D2 *sinα/ 2 H = D1 * D2 *sinβ/ 2H。

4.在面積和高度：M = R / N。