羅素悖論：基本信息，實例，配方

羅素悖論是兩個相互依存的邏輯矛盾。

兩種形式的羅素悖論

在邏輯集的矛盾的最經常討論的形式。 一些一套似乎是成員自己和其他人 - 沒有。 集合所有集合本身就是一個集合，所以它似乎是指本身。 空或空的，但是，不應該是自身的成員。 因此，集合所有集合，零不納入本身。 矛盾的產生當設定是否本身成員的問題。 這是可能的，當且僅當它不是。

另一種形式弔詭的是關於性能的矛盾。 某些屬性，似乎是指自己，而有些則沒有。 該物業是物業本身的屬性，而屬性是一隻貓不是。 考慮具有不屬於他一個屬性的屬性。 它是否適用於自己？ 再次，任何假設的應該是相反的。 這個悖論在伯特蘭·羅素（1872年至1970年），誰在1901年發現了它的名字命名。

故事

開幕羅素他的“數學原理”工作的過程中出現。 雖然他獨立地發現矛盾，有證據表明，其他數學家和集理論，開發商包括恩斯特策梅羅和大衛·希爾伯特，意識到在他面前的矛盾的第一個版本。 羅素，然而，是誰在具體的矛盾在他出版的著作中討論的第一，試圖制定解決方案，並率先充分認識其重要意義。 “原則”的一整章專門討論這一問題的討論，以及應用程序則專門類型的理論，羅素提出的解決方案。

羅素發現了“騙子的悖論”，考慮康托爾集理論，指出任何一組的功率大於設定其子集的更小。 至少在域中應盡可能多的子集，因為有在它的元件，如果每個元件的一個子集被設置僅含有該元素。 此外，坎托證明了元件的數量可以不等於子集的數量。 如果有相同數量的人，那就要存在ƒ功能，它會顯示在他們的子集的元素。 同時也可以證明，這是不可能的。 有些項目可能顯示在包含這些功能ƒ子集，而其他人可能不會。

考慮到不屬於自己的形象，他們在顯示ƒ元素的子集。 它本身是元件的子集，因此，ƒ函數將其顯示在域中的元素上。 的問題是，則出現這樣的問題，以該元素是否屬於其所顯示的ƒ子集。 這是唯一可能的，如果它不屬於。 羅素悖論可以看作是相同的推理的一個例子，僅簡化。 更重要的是 - 設定的集合或子集？ 這似乎應該有更多集，集合自己的所有子集。 但是，如果康托爾定理是真實的，那麼就應該有更多的子集。 羅素認為簡單地顯示對自己集和施加kantoriansky方法考慮到集中的所有這些元件，在其中它們被顯示的一組外的。 顯示拉塞爾成為集所有套，非的。

錯誤弗雷格

“說謊者悖論”對的集理論的歷史發展產生深遠的影響。 他指出，普遍集的概念是很成問題。 他還質疑，對於每個定義的條件或謂詞可以假定多個僅滿足該條件的那些東西的存在的概念。 一個自然延伸版本集 - - 關於屬性選項悖論提出了嚴重懷疑它是否是可能的爭論屬性的客觀存在或通用符合各自通過的條件，或謂確定。

不久，在邏輯學家工作的矛盾和問題被發現了，誰也做出了類似的假設哲學家和數學家。 1902年，羅素發現悖論的一個變體可以在一個邏輯體系來表達，在弗雷格的“算術基礎”第一卷，對已故十九的邏輯的主要作品之一開發 - 二十世紀早期。 在弗雷格的哲學許多理解為“擴展”或“值範圍”的概念。 概念是最接近這些相關因素的。 他們預計對於任何給定的條件或謂詞存在。 因此，存在一組，它不根據其定義概念落入的概念。 也有這個概念定義一個類，它是受定義，只有當它是不是它的概念。

羅素在1902年6月寫信給弗雷格這個衝突通訊已經成為最令人興奮的一個，並在邏輯的歷史談起。 弗雷格立即承認矛盾的災難性後果。 不過，他指出，關於他的哲學性質的爭論的版本是由水平的概念區分解決。

弗雷格的概念理解為從功能到TRUE的參數的轉變。 概念第一級以作為參數的第二層次的概念的對象採取作為參數傳遞給這些功能，等等。 因此，這個概念不能把自身作為參數，並且在性能方面的矛盾無法制定。 儘管如此套，膨脹或概念弗雷格理解為是指相同的邏輯類型與所有其他對象的。 那麼對每一集有一個問題，它是否屬於定義它的概念之下。

當弗雷格，羅素收到的第一個字母的“算術基礎”第二卷已完成打印。 他被迫迅速編寫一個應用程序，讓一個答案羅素悖論。 例如弗雷格載有一些可能的解決方案。 但他得出的結論削弱抽象集的概念在邏輯系統。

在原始的，有可能得出結論，該對象屬於集合，當且僅當其落入概念內，定義它。 經修訂的系統只能得出這樣的結論對象屬於集合，當且僅當其落入限定多個的概念內，但在問題沒有設置。 羅素悖論就產生了。

該解決方案，但是，是不是完全滿意弗雷格。 這是原因。 若干年後，矛盾更複雜的形式已經發現了修訂後的制度。 但即使在此之前發生的事情，弗雷格放棄了自己的決定，似乎得出的結論，他的做法是行不通簡單，而邏輯將沒有任何的套做。

還有一些人已經提出，相對較為成功的替代解決方案。 這些將在下面討論。

類型理論

有人指出以上，弗雷格是悖論的充分響應集理論中的版本制定了性能。 弗雷格的響應是由最經常討論的溶液於這種形式的悖論之前。 它是基於這樣的事實，性質都受到不同類型和什麼類型的屬性是絕不相同就其所涉及的項目。

因此，即使沒有出現這樣的問題，無論是性能，適用於自身。 邏輯語言，其分離這樣的層次結構的元件，使用的類型的理論。 雖然現在已經使用弗雷格，它第一次全面的說明及其附件“的原則”，在證實羅素。 類型理論比弗雷格水平的區分更加完整。 她共享特性，不僅不同類型的邏輯，還設置。 類型理論解決的羅素如下悖論的矛盾。

為了成為一個哲學充足，採用類型的屬性的理論需要的屬性，以便性質的理論的發展可以解釋為什麼他們不能被應用到自己。 乍一看，這是有道理的謂詞自己的財產。 被認同的財產，這似乎也是一種自我認同。 酒店似乎是一個不錯的享受。 以同樣的方式，顯然，看來假的說，當一隻貓的屬性是一隻貓。

然而，不同的思想家有道理不同類型的劃分。 羅素甚至在職業生涯的不同時期給予不同的解釋。 就其本身而言，對於弗雷格水平的不同概念的分離的理由來自於他的不飽和概念理論。 概念功能，本質上是不完整的。 為客戶提供價值，他們需要一個參數。 你不能只是一個概念的謂詞相同類型的概念，因為它仍然需要它的參數。 例如，儘管可以採取一系列的平方根的平方根，你不能只用一個平方根函數平方根函數和得到的結果。

關於保守主義性質

另一種可能的解決方案是任何給定的條件下，或合式謂詞下悖論屬性否定性質的存在。 當然，如果有人避開客觀和獨立的要素作為一個整體的形而上學的性質，如果我們把唯悖論可以完全避免。

然而，要解決的矛盾不必如此極端。 邏輯更高階系統根據它開發弗雷格和Russell，包含所謂的概念的原則，不論多麼複雜作為屬性或概念，例如，只匹配式那些項目中的一部分存在的每個開放式。 他們向每一個可能的一系列條件或謂詞的屬性，無論他們多麼複雜了。

儘管如此，有可能採取更嚴格的形而上學性，給予正確的簡單性的客觀存在，包括，例如，如紅色的色澤，硬度，善良等等。D.你甚至可以讓這些屬性適用於自己，比如善良能善待。

和複雜的屬性相同的狀態可以被拒絕，例如，這樣的“屬性”為具有17-頭，水下被書寫等。D.在這種情況下，沒有預先確定的條件不符合屬性，理解為分別現有的元素，它有自己的屬性。 因此，可以拒絕簡單屬性的存在是屬性 - 即-未施加到自並且通過應用更保守的形而上學性質避免矛盾。

羅素悖論：解決方案

上面有人指出，在他生命的最後弗雷格完全拋棄套的邏輯。 這當然，一個解決方案的二律背反的在集的形式：這些元件作為一個整體的存在一個簡單的拒絕。 此外，還有其他流行的選擇，它的基本原理如下所示。

該理論對許多類型的

正如前面提到的，拉塞爾效力過的類型，誰也不僅分享屬性或概念在不同類型的更完整的理論，而且設置。 羅素共享集上的多個分離的單元，多組獨立的物體，等等的對象的集合不被認為是，和多組 - ..集。 很多從來沒有享受過的類型，讓你有作為自身的成員。 因此，沒有設置不屬於自己的成員的所有組，因為任何一組關於它是否是為成員，本身就是違規類型的問題。 同樣，這裡的問題是解釋形而上學組來劃分的哲學基礎講解分為不同的類型。

分層

1937年，五，五Kuayn提供了一種替代解決方案，以類似於類型理論的一種方式。 關於它的基本信息是。

分離元件套等。材質，這樣找到的多個假設總是不正確或無意義的。 確定其條件時才能提供集是不是違反類型。 因此，對於奎因，表述“x不是X的成員”是有意義的語句並不意味著該組滿足該條件的所有元素x的存在。

在該系統中的一組存在一些開放式A當且僅當它被分層，噸。E.如果變量被分配的正整數，使得對於多個其可變前述中的每個特徵出現時分配的分配單元小於變量，之後他跟隨。 此塊羅素悖論，因為公式來確定問題集，有相同的前後可變會員標誌使它不分層後。

但目前尚未確定是否將導致系統，奎因叫做“數理邏輯的新基礎”是一致的。

拒絕

一種完全不同的方法是採取在策梅洛的理論 - 弗蘭克爾（ZF）。 在這裡，上套的存在來設置的限制。 相反，接近羅素和弗雷格，是誰最初認為，對於所有的概念，性質，或條件可能會建議集合的所有事物的存在與此屬性或滿足這樣的條件，在ZF-理論的“自上而下”的，一切都開始“從下往上”。

空集的和單獨的元件形成一組。 因此，不像早期的系統和羅素弗雷格FIT不屬於全集，其中包括所有元素，甚至所有的集合。 ZF設定了套存在嚴格的限制。 只可能存在的那些，這就是它清楚地推測或可被迭代過程等來配製。D.

然後，代替概念抽象幼稚組其中指出一個特定的元素被包括在所述一組當且僅當其滿足在使用DF，分離或“排序”分離原理的條件。 而不是假設的集合，其是無例外的所有元素的存在滿足一定條件，對於每個組現有的Aussonderung指示在原始集合滿足條件的所有元素的子集的存在。

然後是抽象的原則：如果集合A中存在，那麼，對A所有的x，x屬於子集A，滿足條件，當且僅當x滿足條件C.這種方法解決了悖論羅素，因為我們不能簡單地假設也就是說，一套不屬於自己的成員的所有套。

有很多套，你可以選擇或者將其分為多個組，以便在自己，和那些誰不這樣，但因為沒有全集也決不能所有集合的集合。 而不承擔習題集羅素矛盾不能得到證明。

其他解決方案

此外，也出現了後續的擴展或這些溶液的修飾，如“數學原理”的系統擴展“數學邏輯”奎因，以及在集合理論更近期發展的叉型理論，製成伯奈斯，哥德爾和馮·諾依曼。 與不溶性的悖論羅素響應是否發現問題，仍是一個有爭議的問題。