不定積分。 不定積分的計算

一個數學分析的基本部分的是積分。 它涵蓋了非常廣泛的對象，其中第一場 - 這是不定積分。 位置它代表的是還在讀高中的關鍵揭示了越來越多的前景和機遇，它描述了高等數學。

外形

乍一看，這似乎完全集成到現代的，局部的，但在實踐中事實證明，他回來在1800年 BC。 首頁正式認為埃及是沒有達到我們它的存在的早期證據。 這是由於缺乏信息，所有的，而簡單地定位為一種現象。 他再一次印證了那個時代的人民的科學發展水平。 最後，作品被發現的古希臘數學家，從公元前4世紀約會。 他們描述了所使用的方法，其中所述不定積分，其中本質是發現一曲線形狀的（三維和二維平面上，分別地）的體積或面積。 計算基於原始圖形到無窮小元件的劃分的原則，條件是體積（區域）已經知道它們。 隨著時間的推移，不斷壯大的方法，阿基米德用它來找到一個拋物線的區域。 同時類似的計算在中國古代，在那裡他們分別來自希臘老鄉學完全獨立的進行練習。

發展

在十一世紀公元前接下來的突破已經成為阿拉伯學者的作品“馬車”阿布·阿里·巴斯里，誰推的界限已經知道，從計算從第一到第四的量和度的總和，申請這為我們所知的積分公式推導 感應方法。
今天的頭腦推崇古埃及人創造了驚人的古蹟無需任何特殊工具，除了為自己的手，但不是的時候沒少一個奇蹟的動力瘋狂的科學家？ 與他們的生活的當今時代相比顯得近乎原始，但不定積分的決策推斷無處不並在實踐中用於進一步發展。

下一步發生在十六世紀，當意大利數學家卡瓦列裡帶來了不可分割的方法，它拿起 每費爾馬。 這兩個個性的現代積分，這是目前已知的奠定了基礎。 他們綁分化和整合的概念，這在以前被視為獨立單元。 總的來說，在當時的數學是零散顆粒發現本身存在的，具有有限的用途。 方式團結起來，尋找共同點是唯一真實的那一刻，感謝他，現代 數學分析 有機會發展壯大。

隨著時間的推移改變了一切，積分符號，以及。 總的來說，它被指定為科學家誰在他自己的方式，例如，牛頓用一個方形圖標，它把一個積函數，或者乾脆放在一起。 這種差異一直持續到十七世紀，當數學分析的科學家戈弗里德Leybnits的整個理論的一個里程碑引入這樣我們熟悉的角色。 細長的“S”，實際上是基於這封信 的羅馬字母， 因為指基元的總和。 整體的名稱獲得感謝雅各布·伯努利，經過15年。

正式定義

不定積分取決於原始的定義，所以我們認為這是擺在首位。

原函數 - 是導數的反函數，在實踐中它被稱為原始。 否則：D的原語功能 - 是一個函數D，這是衍生物Ⅴ<=> V'= V。 搜索原始是計算不定積分，而這個過程本身被稱為整合。

例如：

函數s（Y）= Y ^3和它的原始S（Y）=（Y ^4/4）。

該組函數的所有圖元的 - 這是一個不定積分，它表示如下：∫V（x）的DX。

憑藉這一事實V（X） - 只有一些原始原有的功能，表達式成立：∫V（x）的DX = V（X）+ C，其中C - 恆定。 下的任意的常數是指任何恆定，由於它的導數是零。

性能

由不定積分所具有的屬性，基本上基於定義和衍生物的性質。
考慮的關鍵點：

• 原始的積分微分是原始本身加上任意的常數C <=>∫V'（x）的DX = V（x）的+ C;
• 一個函數的積分的導數是原始函數<=>（∫V（x）的DX）'= V（x）的;
• 常數從積分符號<=>∫kv（x）的下取出DX =k∫v（x）的DX，其中k - 是任意的;
• 積分，這是從恆等於的總和送到積分的總和<=>∫（V（Y）+ W（Y））= DY∫V（y）的DY +∫w（y）的DY。

最後兩個屬性可以斷定不定積分是線性的。 由於這個原因，我們有：∫（KV（Y）DY +∫LW（Y））= DYk∫v（Y）DY +l∫w（Y）DY。

要查看固定解決方案不定積分的例子。

你必須找到積分∫（3sinx + 4cosx）DX：

• ∫（3sinx + 4cosx）DX =∫3sinxdx+∫4cosxdx=3∫sinxdx+4∫cosxdx= 3（-cosx）+ 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

從例子中，我們可以得出結論，你不知道怎麼解決不定積分？ 只要找到所有的圖元！ 但對於原則的搜索下面討論。

方法及應用實例

為了解決積分，你可以求助於以下方法：

• 準備趁表;
• 分部積分法;
• 通過更換變量集成;
• 差的標誌下總結。

表

最簡單和愉快的方式。 目前，數學分析可以擁有相當廣泛的表格，其中列明不定積分的基本公式。 換句話說，有得到的高達你模板，你只能把他們的優勢。 這裡是主表的位置，可以顯示幾乎所有實例的列表中，有一個解決方案：

• ∫0dy= C，其中C - 常數;
• ∫dy= Y + C，其中C - 常數;
• ^∫yÑDY =（Y ^{N + 1）/（N} + 1）+ C，其中C -一個常數，n -從統一不同數目;
• ∫（1 / Y）= DY LN | Y | + C，其中C - 常數;
• ^{∫EÿDY = E Y + C} ，其中C -常數;
• ^{∫kÿDY =（K Y /} LN K）+ C，其中C -常數;
• ∫cosydy= siny + C，其中C - 常數;
• ∫sinydy= -cosy + C，其中C - 常數;
• ∫dy/ COS ² Y = TGY + C，其中C -常數;
• ∫dy/ SIN ² Y = -ctgy + C，其中C -常數;
• ∫dy/（1 + Y ^2）= arctgy + C，其中C -常數;
• ∫chydy=害羞+ C，其中C - 常數;
• ∫shydy= CHY + C，其中C - 恆定。

如有必要，請幾個步驟導致積到表格視圖，享受勝利。 實施例：∫cos（5×-2）DX = 1 /5∫cos（5× - 2）D（5× - 2）= 1/5 X罪（5× - 2）+ C.

根據該決定，很顯然，例如表積缺乏乘數5.我們通過1/5這個乘法它添加在平行於一般的表情沒有任何變化。

分部積分法

考慮兩個功能 - Z（y）和X（Y）。 他們必須在其領域連續可微。 在一個分化性質，我們有：D（XZ）= XDZ + ZDX。 整合雙方，我們得到：∫D（XZ）=∫（西安高新區+ ZDX）=> ZX =∫zdx+∫xdz。

重寫所得方程，我們得到公式，其描述了集成的通過部分的方法：∫zdx= ZX - ∫xdz。

為什麼有必要嗎？ 一些它是可以簡化的例子，讓我們說，事實上，以減少∫zdx∫xdz，如果是後者接近表格的形式。 此外，該公式可用於一次以上，以獲得最佳效果。

如何解決不定積分是這樣的：

• 必要計算∫（S + 1）在線^2S DS

∫（X + ^{1）在線2S DS = {Z =} S + 1，DZ = DS，Y = 1 ^{/ 2E 2S，DY = E 2×} DS} =（（S + 1）在線^2S）/ 2-1 / 2 ^∫E2S DX =（（S + 1）在線^2S）/ 2-E ^2秒 / 4 + C;

• 必須計算∫lnsds

∫lnsds= {Z = LNS，DZ = DS / S，Y = S，DY = DS} =前哨淋巴結 - ∫sX DS / S =前哨淋巴結 - ∫ds=前哨淋巴結-s + C = S（LNS-1）+ C.

更換可變

解決不定積分的這個原則是需求比前兩個不低於，但複雜。 該方法如下：設V（X） - 的一些函數V（x）的的積分。 在這本身例slozhnosochinenny積分來時，很可能會感到困惑，並進入錯誤的路徑解決方案。 為了避免從變量x到z這種做法的變化，其中的一般表達式，同時保持取決於第x與z視覺簡化。

在數學術語中，這是如下：∫V（x）的DX =∫V （Y（Z））Y'（z）的DZ = V（Z）= V（Y-1（X）），其中X = Y（ Z） - 置換。 而且，當然，逆函數z = Y ^-1（x）的充分描述的關係和變量的關係。 重要提示 - 差分DX必然有一個新的差異DZ代替，因為變量的不定積分的變化包括無處不在取代它，不只是在積。

例如：

• 必須找到∫（S + 1）/（S ² + 2秒- 5）DS

適用的取代Z =（S + 1）/（S ² + 2S-5）。 然後DZ = 2sds = 2 + 2（S + 1）DS <=>（S + 1）DS = DZ / 2。 其結果，下面的表達式，這是非常容易計算：

∫（S + 1）/（S ² + 2S-5）DS =∫（DZ / 2）/ Z = 1 / 2LN | Z | + C = 1 / 2LN | S ² + 2S-5 | + C;

• 你必須找到整體∫2 ^發 E ^S DX

為了解決以下形式重寫：

^{∫2發E的膳食補充劑=∫（} 2E）■DS。

我們通過= 2E表示（更換這一步是不是說法，它仍然為s），我們給我們看似複雜的不可或缺的基本表格的形式：

^{∫（2E）■DS =∫a}的膳食補充劑= A S / LNA + C =（2E）S / LN（2E）+ C = 2 ^{S（E S）/} LN（2 + LNE）+ C = 2 ^{S（E S）/} （LN2 + 1）+ C.

總結了差異性符號

總的來說，不定積分的這種方法 - 變量變化的原則孿生兄弟，但在註冊過程中的差異。 讓我們更詳細地考慮。

如果∫V（x）的DX = V（x）的+ C和Y = Z（x），則∫V（Y）DY = V（Y）+ C.

同時，我們不能忘記瑣碎的積分變換，其中：

• DX = D（X + A），並且其中 - 每個常數;
• DX =（1 / A）D（AX + b）中，其中 - 恆定再次，但不是零;
• XDX = 1 / ^2D（×2 + b）的
• sinxdx = -d（cosx）;
• cosxdx = D（sinx的）。

如果我們考慮其中我們計算不定積分的一般情況下，實例可以通式W'（x）的DX = DW（X）下被包含。

例子：

• 必須找到∫（2S + ^3）2 DS，DS = 1 / 2D（2S + 3）

∫（2S + ^3）2 DS = 1 /2∫（2S + ^3）2 D（2S + 3）=（1/2）×（（2S + ^3）2）/ 3 + C =（1/6） X（2S + ^3）2 + C;

∫tgsds=∫sins/ cossds =∫D（COSS）/ COSS = -ln | COSS | + C。

在線幫助

在某些情況下，它的故障會變得懶惰或，或迫切需要，您可以使用網上的提示，或者更確切地說，使用計算器不定積分。 儘管有明顯的複雜性和積分的爭議性，決定是受他們的具體算法，它是基於“如果你不......那麼......”的原則。

當然，這樣的計算器的一個特別複雜的例子將沒有掌握，因為存在其中的決定必須找到一個人為“被迫”通過引入在此過程中的某些元件的情況下，因為結果是明顯的方式達到。 儘管這句話的爭議性，這是真的，因為數學，原則上，一個抽象的科學，其主要目標考慮授權邊界的需要。 的確，對於一個平穩運行的理論是很難向上移動和發展，所以不要以為解決不定積分的例子，這給了我們 - 這是一個充滿機會的高度。 但是，回到事物的技術方面。 至少要檢查計算，可以使用在其被寫入到我們的服務。 如果有需要複雜的表達式的自動計算，那麼他們就不必訴諸於更嚴重的軟件。 應主要在環境MatLab的關注。

應用

乍一看不定積分的決定似乎與現實完全不沾邊，因為它是很難看到明顯的用途飛機。 事實上，直接就可以不使用它們的任何地方，但他們在實踐中使用的解決方案的撤軍進程的必要中間元件。 因此，後面的分化整合，從而積極參與解方程的過程。
反過來，這些方程對發生機械故障，軌道計算和熱導率的決定直接影響 - 簡而言之，即構成本和塑造未來的一切。 其中我們上面考慮，只是乍看之下微不足道的，作為基礎不定積分，實例開展更多新的發現。