的角度的正弦值的導數等於相同的角度的餘弦

德納簡單三角學函數y = SIN（X），是在整個域的每個點可微的。 我們必須證明 正弦的衍生物 任何參數的是等於相同角度的餘弦，即，'= cos（x）的。

證明是基於導數函數的定義

我們定義在一個特定的點_xΔH0的一些小鄰居X（任意_）。 我們將它顯示函數值，並在點你都可以找到一個給定函數的增量。 如果Δh的-參數遞增，新的參數-該X ₀ +△= X，該函數的對自變量（x）的一個給定值的值等於的sin（x ₀ +ΔX），在特定點的函數值（X _0）也是已知的。

現在，我們有量Δu= SIN（X ₀ +ΔH）-Sin（X _0） -獲得的增量功能。

根據兩個不相等的角度的正弦總和的公式，我們將轉換差量Δu。

ΔU= SIN（X _{0）·cos（ΔH）+} cos（X _{0）·SIN（ΔX）}減去的sin（x _{0）=（cos（ΔX）-1} ）·SIN（ X _0）+ cos（X _0） ·SIN（ΔH）。

進行置換術語第一分組，以第三的sin（x _0），取出的共同因子-正弦-括號。 我們在表達的Cos差（ΔH）收到-1。 它留給改變符號在括號和括號的前面。 知道什麼是1-COS（ΔH），我們作出改變和得到的簡化的表達量Δu，然後由Δh的劃分。
ΔU/Δh的將具有以下形式：的Cos（X _{0）·SIN（ΔH）/Δh}的^2·2仙（0.5×ΔH）·SIN（X _0）/Δh的。 這是函數的增量接納參數的增量的比率。

它仍然找到LIMΔh的過程中，我們獲取的比率的限制，趨向於零。

已知的是，限制仙（ΔH）/Δx為等於1，的條件下。 和表達式^2·2仙（0.5×ΔH）/Δh的在所得總和特定變換到含有作為第一乘法器顯著的限制產品：分數和znemenatel鴻溝由2分子，正弦的平方取代產物。 具體方法如下：
（SIN（0,5·ΔX）/（0,5·ΔX））·SIN（ΔX/ 2）。
此表達時的Δh趨向於零，所述的極限將等於零（0乘以1）的數目。 事實證明，ΔY/Δh的比的下限為等於cos（X _0）·1-0，這是的Cos（X _0），即不依賴於Δh的表達，有志0。結論是，x的正弦的衍生物是等於任何角度x的餘弦，可以寫為：y'= cos（x）的。

所得的式以已知的衍生物，其中所有的基本功能的表中列出

在解決問題的，在那裡他遇到了正弦的導數，你可以使用 差異化的規則 和表的現成的公式。 例如：找到最簡單的函數y的導數= 3·SIN（X）-15。 我們使用基本推導規則去除數值因子對導數的符號，並計算微分常數數目（這是零）。 應用角的導數的一個正弦表值X以下的Cos（X）。 接收的答案為：y'= 3·cos（x）的-O。 此衍生物，反過來，也是一個初等函數Y = H·cos（x）的。

正弦的平方衍生物任何參數的

在表達式的計算（仙^2（X））'必須記住如何分化複合函數。 所以^，2 = SIN（X） - ，是冪函數為正弦平方。 它的參數也是一個三角函數， 一個複雜的論證。 在這種情況下，結果是等於所述第一乘法器的乘積為自變量的複雜衍生物的平方，並且所述第二 - 正弦的衍生物。 下面是用於區別函數的函數規則：（U（V（X）））'是（U（V（X）））“·（V（X））”。 V表達的（X） - 複數參數（內部功能）。 如果給定的函數“Y等於正弦平方X”，然後該複合函數的導數為y'= 2·SIN（X）·cos（x）的。 第一乘法器的乘積增加了一倍 - 衍生物已知指數函數，和Cos（X） - 的二次函數的導數竇複數參數。 最終的結果可以通過使用雙角度的三角正弦的計算公式進行變換。 答：衍生物是SIN（2·X）。 這個公式很容易記住，它經常被用來作為一個表。